União e Intersecção de Intervalos

Conjuntos são como clubes, associações, países, etc

Um conjunto é como se fosse um clube, uma associação de pessoas. Para fazer parte, o elemento precisa satisfazer certos critérios, certas condições.

Por exemplo, para ser membro (elemento) do Clube de Xadrez, a pessoa tem que jogar xadrez e pagar uma anuidade. Pra ser elemento de [3,4], um número x tem que satisfazer o critério 3 ≤ x ≤ 4.

Intervalos são um tipo de conjunto

Escrever 3 ≤ x ≤ é apenas uma abreviação para 3 ≤ x e x ≤ 4. Ou seja, x é maior ou igual a 3, e menor ou igual a 4. Isso significa que todo número real indo de 3 a 4 pertence a esse intervalo: por exemplo, 3,1, 3,2, ... 3,9, 3,9999, etc.

Até π=3,14159... pertence a esse intervalo, pois ele é maior ou igual a 3 (pois é maior que 3), e menor ou igual a 4 (pois é menor do que 4). Note que inclusive o 3 e o 4, pois eles passam no teste: 3 é maior ou igual a 3 (pois é igual), e menor ou igual a 4 (pois é menor). E 4 é maior ou igual a 3 (pois é maior), e menor ou igual a 4 (pois é igual).

O intervalo ]3;4[ é parecido, mas a condição agora é sem o "ou igual": 3 < x < 4. O número tem que ser maior do que 3, e menor do que 4. Isso significa que o 3 e o 4 não estão nesse intervalo. 3 não está porque não é maior do que 3 (um número nunca é maior do que si mesmo) e 4 não está nesse intervalo porque não é menor do que si mesmo, 4!

A notação usando colchetes é sugestiva: quando escrevemos "[3", estamos incluindo o 3. Pode-se pensar que o colchete está "abraçando" o 3, incluindo-o. Já "]3" está dando as costas para o 3, excluindo-o. O mesmo vale para "4]" (incluindo) e "4[" (excluindo).

Uma forma de ler em voz alta o intervalo [3;4] é "intervalo de 3 inclusive a 4 inclusive". Lemos "]3;4[" como "o intervalo de 3 exclusive a 4 exclusive". Podemos inclusive misturar os dois casos: ]3,4] exclui o 3 mas inclui o 4. [3,4[ inclui o 3, mas exclui o 4.

Voltando a conjuntos sendo como clubes

Mas voltando à idéia de que conjuntos são clubes com critérios de admissão: quando ninguém satisfaz o critério, o clube fica vazio. Por exemplo, o clube (conjunto) dos números primos pares e maiores do que 5 é o conjunto vazio, pois o único número primo par é 2 e ele não é maior do que 5. Ele era o único que talvez satisfizesse a condição, mas nem ele satisfaz.

Outro clube vazio é o clube dos números pares ímpares (lógico).

Esses "clubes vazios" são simplemente o conjunto vazio, denotado por { } ou ∅.

Às vezes um clube tem um único membro: o clube dos números primos pares só tem o elemento 2 lá, nenhum outro número satisfaz. A gente denota esse conjunto como { 2 }.

União, e União de Intervalos

Certos clubes são especiais pois o critério para pertencer a eles é pertencer a outros clubes. Por exemplo, o conjunto união de [3, 5] e [5, 6] exige que para fazer parte, o elemento tem que fazer parte ou de [3;5], ou de [5;6]. Isso resulta em todos os numeros em [3,6], portanto [3;6] é a união de [3;5] e [5;6].

A regra geral para união é a seguinte: um elemento pertence à união dos conjuntos A1,...,An se, e somente se, ele pertence a pelo menos um dos conjuntos A1,...,An (note que isso inclui o caso em que ele pertence a mais de um desses conjuntos, ou mesmo de todos).

A União Européia é um clube parecido. Pra ser cidadão da União Européia, a pessoa tem que ser cidadã ou de Portugal, ou da França, ou da Alemanha, etc... O resultado é o conjunto de todas as pessoas dos países da União Européia.

Veja bem, união não precisa ser só de intervalos, mas serve para qualquer conjunto. Intervalo é só um tipo de conjunto. Um exemplo de conjunto que não é intervalo é, por exemplo, {1, 4, 5, 6}, que é um conjunto com 4 números. Ele conjunto tem "buracos" entre os elementos -- o 2, por exemplo, não pertence a ele -- e não é um intervalo.

Mesmo com conjuntos que não são intervalos, podemos falar da união. Por exemplo, a união dos conjuntos [0, 1, 2} e { 1, 2, 4, 5, 6} é o conjunto {0, 1, 2, 4, 5, 6}, ou seja, todos os elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos originais.

Note que acima o 1 e 2 pertencem a ambos os conjuntos. Isso não impede que eles pertençam à união, pois pra pertencer a União basta pertencer a pelo menos um conjunto. Quem pertence aos dois conjuntos pertence a pelo menos um deles!

Intersecção, e Intersecção de Intervalos

A intersecção também é um tipo de clube que tem como condição o fato de pertencer a outros clubes. A diferença é que pra pertencer à intersecção, um elemento deve pertencer a todos os conjuntos sendo interseccionados. A intersecção de {1,2,3}, {2, 3, 4} e {0,2,3,5} é {2,3} pois apenas esses dois elementos pertencem todos os três conjuntos. A intersecção de {2, 3, 4} e {0, 1, 7} é o conjunto vazio, pois nenhum número pertence a ambos esses conjuntos.

Se a intersecção for de vários conjuntos, um elemento deve pertencer a todos eles pra poder pertencer à intersecção. Por exemplo, a intersecção de {0,1,2], {-1,0,2} e {2,4,5} é o conjunto unitário {2}, pois só o 2 pertence a todos os conjuntos. Note que o 0 pertence a dois deles, mas como não está no terceiro, é rejeitado na hora de entrar na intersecção.

A intersecção dos países da União Européia é o conjunto vazio, pois pra pertecer à intersecção de todos aqueles países, a pessoa teria que ser cidadão de todos os países: ser cidadão de Portugal E cidadão da França E cidadão da Alemanha. Acho que não existe ninguém que seja cidadão de todos esses países ao mesmo tempo, então a intersecção é o conjunto vazio.

Lembre-se: um intervalo é nada mais, nada menos do que um "clube", com uma condição para pertencer que toma a forma de a ≤ x ≤ b, (ou < ao invés de ≤ para intervalos abertos). Os números 3, 3,5 e 4 pertencem a [3,4], enquanto 3 e 3,5 pertencem a [3;4[ mas o 4 não pertence.

Intervalos d tipo ]-infinito; 3] significam "maior do que -infinito e menor ou igual a 3". Como todo número é "maior do que -infinito", isso é a mesma coisa que simplesmente dizer: "menor ou igual a 3".

O mesmo raciocínio se aplica para [4;+infinito[. Todo número maior ou igual a 4 pertence a esse intervalo, pois todos não "menores que infinito".

Exercícios

Dadas todas essas explicações, pratique resolvendo esses exercícios:

1. Quantos pontos estão contidos nos seguintes intervalos: a. [2;2] b. [2;2[ c. ]2;2[

2. Quais as seguintes intersecções:

a. [1;3] ∩ [0; 2] b. [-1;3] ∩ [0; 2] c. [3;4] ∩ [4,8] d. [3,4[ ∩ ]4, 8] e. [0;1] ∩ [3;4] f. [0;1] ∩ [1;2]

3. Quais as seguintes uniões (Note que as uniões não são necessariamente intervalos):

a. [3;4] ∪ [4;8] b. ]-infinito,;7] ∪ [7;+infinito[ c. [2;4] ∪ [6,8]

Respostas

1. Quantos pontos estão contidos nos seguintes intervalos:

a. [2;2] = {2}, pois apenas x = 2 satisfaz 2 ≤ x ≤ 2. b. [2;2[ = ∅, pois nenhum x satisfaz 2 ≤ x < 2, nem mesmo o 2, pois não é verdade que 2 < 2. c. ]2;2[ = ∅, pois nenhum x satisfaz 2 < x < 2, nem mesmo o 2, pois não é verdade que 2 < 2.

2. Quais as seguintes intersecções:

a. [1;3] ∩ [0; 2] = [1;2] b. [-1;3] ∩ [0; 2] = [0;2] c. [3;4] ∩ [4,8] = {4}, pois apenas 4 pertence a ambos os intervalos d. [3,4[ ∩ ]4, 8] = ∅, pois nem o 4 pertence a ambos os intervalos e. [0;1] ∩ [3;4] = ∅ pois nenhum número pode ser ≤ 1 e maior ou igual a 3 ao mesmo tempo. f. [0;1] ∩ [1;2] = {1}, pois apenas o 1 está nos dois intervalos.

3. Quais as seguintes uniões (Note que as uniões não são necessariamente intervalos):

a. [3;4] ∪ [4;8] = [3;8], pois todos os números em [3;8] estão ou em [3;4] ou em [4;8] b. ]-infinito,;7] ∪ [7;+infinito[ = ]-infinito;+infinito[, ou seja, todos os números reais. c. [2;4] ∪ [6,8] = { x : 2 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 8 }, que se lê assim: "o conjunto dos números x tais que 2 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 8". Infelizmente não há um modo de descrever esse conjunto como um intervalo (por exemplo [2;8]), pois essa união não é um intervalo por ter um "buraco" no meio: os números entre 4 e 6 exclusive não pertencem à essa união pois não pertencem a nenhum dos dois intervalos originais. Se tivéssemos escrito [2;8], estaríamos incluindo esses números indevidamente.