Resolução de equações de segundo grau através de fatoração

Escrevi uma explicação sobre a resolução de equações de segundo grau para o meu sobrinho que pode ser útil para outras pessoas:

Primeiro precisamos relembrar fatoração. Temos DOIS casos de fatoração relevante aqui:

Método de fatoração No1 - trinômio:

É quando temos uma expressão:

x^2 +Sx + P, onde S é a soma de dois números a e b, e P seu produto.

Por exemplo

x^2 + x - 6           (x^2 quer dizer "x ao quadrado")

Nesse caso S = 1 (invisível, multiplicando o x, e P é -6). Pensando nas possibilidades, dois números com soma 1 e produto -6 são 3 e -2. Então x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Podemos dizer isso porque, aplicando a distributiva,

(x + 3)(x - 2) = x^2 + 3x -2x -6 = x^2 + (3 - 2)x - 6

Ou seja, os números a e b iguais a 3 e -2, quando aplicamos a distributiva, multiplicam o x e são somados, gerando S igual a 1, e sozinhos, sem multiplicar o x, são multiplicados, gerando P igual a -6.

Método de fatoração No 2 - trinômio quadrado perfeito:

É um caso particular do primeiro método, onde a e b são o mesmo número (vamos chamar esse valor comum de d).

Se temos x^2 + 2dx + d^2, isso é o mesmo que (x + d)^2

Por que esse é um caso particular do primeiro método? Por que acima temos que S = 2d, e P é igual a d^2. Os números a e b que geram essa soma e produto são d e d (somados dão 2d e multiplicados dão d^2).

Na verdade, como esse método é um caso particular do primeiro, se você lembrar só do primeiro método usando S e P, já dá pra resolver os dois casos. Por exemplo, se você ver:

x^2 + 6x + 9

e usar S e P, vai achar 3 e 3. Isso é o mesmo que você acharia usando o trinômio quadrado perfeito, pois 6 = 2.d = 2.3 e 9 = d^2 = 3^2.

Portanto

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)

Note que os casos acima SÓ funcionam quando o x^2 é multiplicado por 1. Se tivermos um caso, por exemplo com 3 multiplicando o x^2:

3x^2 + 3x - 6

temos que primeiro fatorar o número que multiplica o x^2 (fazer a distributiva ao contrário):

3x^2 + 3x - 6 = 3 ( x^2 + x - 2)

Agora o que está dentro do parênteses pode ser fatorado de acordo com S e P. Achamos os números 3 e -2. Assim, reescrevemos o acima como:

3 ( x^2 + x - 2) = 3 ( (x + 3)(x - 2) ) = que é o mesmo que 3 vezes (x + 3) vezes (x - 2) 3(x + 3)(x - 2)

Note que o fato pra passar de 3 ( (x + 3)(x - 2) ) para 3(x + 3)(x - 2) pode ter te dado a impressão de deveria ter usado a distributiva porque o (x + 3)(x - 2) estava entre parênteses, mas isso não é correto porque a distributiva SÓ se aplica quando o que está entre parêntes é uma SOMA ou SUBTRAÇÃO.

Bom, ok, o que está acima é o que precisamos relembrar sobre fatoração. Agora vamos ver como podemos usar isso para resolver equações de segundo grau.

O que é uma equação de segundo grau? É quando temos uma igualdade (=) envolvendo uma variável, e essa variável aparece elevada ao quadrado. Alguns exemplos são:

3x^2 + 2x + 1 = x^2 + x
3x^2 + 2x + 1 = 0
3x^2 + 1 = x^2 + x
x^2 = 0 x^2 - 5 = 0

Todas essas são equações do segundo grau porque o x aparece elevado ao quadrado, mesmo que o x sem ser ao quadrado também apareça.

Pra resolver uma equação de segundo grau, primeiro passamos tudo para um lado e deixamos o 0 sozinho do outro lado:

3x^2 + 2x + 1 = x^2 + x - 3
3x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + 3 = 0

depois reduzimos os termos semelhantes, isso é, somamos tudo que multiplica o x^2 , o que multiplica o x, e os números sem x:

3x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + 3 = 0
(3 - 1)x^2 + (2 - 1)x + 1 + 3 = 0
2x^2 + 1x + 4 = 0
2x^2 + x + 4 = 0

Depois que isolamos o zero e reduzimos os termos semelhantes, SEMPRE teremos alguém multiplicando o x^2, alguém multiplicando o x, e um número sozinho. Chamamos o multiplicador de x^2 de a, o multiplicado de x de b, e o número sozinho de c.

2x^2 + x + 4 = 0
tem a = 2, b = 1 e c = 4

Quando um ou mais termos não aparece, é porque ele é 0. Por exemplo, 3x^2 + 2x = 0

tem a = 3 e b = 2, mas qual o c? É 0, porque o acima é o mesmo que

3x^2 + 2x + 0 = 0

ou seja, o numero sozinho é 0.

Outro exemplo:

2x^2 + 3 = 0

Desta vez esta faltando o termo com x, mas o acima é igual a

2x^2 + 0.x + 3 = 0

ou, seja, é facil ver que o b nesse caso é 0.

As vezes tanto o b quanto o c são zero:

x^2 = 0

tem b e c iguais a zero, pois o acima é igual a

x^2 + 0.x + 0 = 0

Lembre-se de prestar atenção nos numeros negativos:

-2x^2 + 3x -1 = 0
tem a = -2, b igual a 3 e c igual a -1

Ou seja, é preciso prestar atenção nos sinais.

Note que o a nunca será 0, pois se estiver faltando um termo com x^2, então nem temos uma equação de 2o grau, que sempre exige um termo com x^2 !

Muito bem, agora sabemos "extrair" os coeficientes a, b, e c de uma equação de segundo grau. Pra resumir, jogamos tudo pro lado esquerdo da equação, reduzimos (somamos os multiplicadores de termos semelhantes) e identificamos o a, b e c como multiplicadores de x^2, x e números sozinhos.

Agora podemos estudar varios casos pra solucionar equações de segundo grau:

Caso 1:

b e c são zero:

Nesse caso temos apenas:

a.x^2 = 0

então

x^2 = 0/a
x^2 = 0
x = raiz(0)        (raiz(alguma coisa) é a notação que uso para a raiz do que vem dentro dos ()s)
x = 0

Esse caso cobre os seguintes exemplos, entre outros:

5x^2 = 0
-3x^2 = 0
-x^2 = 0

O x é 0 em todos os casos que caem no Caso 1, portanto o conjunto solução é S = { 0 }.

Caso 2: 

 O c é zero, mas o b não é:

ax^2 + bx = 0

note que quando é assim podemos fatorar o x:

x( a.x + b) = 0

Ou seja, x vezes (ax + b) é igual a zero. O único jeito de multiplicar duas coisas e dar 0 é se pelo menos uma dessas coisas é igual a zero. Isso quer dizer que ou o x é 0, ou (ax + b) é zero.

Se o x é 0, então pronto, achamos uma solução. Mas se ele não for, outra solução é dada a partir de

ax + b = 0

que é uma equação de PRIMEIRO grau que já sabemos resolver. Fazemos assim:

ax = - b x = -b/a

Ou seja, -b/a é outra soluçãp. Voce nao precisa decorar essa formula se não quiser, basta lembrar de fatorar o x quando o c for zero, ver que x = 0 é uma solução e que a solução da equação do primeiro grau deve ser outra:

Exemplo no caso 2:

x^2 - 4x = 0
x( x - 4) = 0

Então x = 0 é solução e x - 4 = 0, ou seja x = 4 também é solução. Portanto, o conjunto solução é S = {0, 4} (dois valores para x que tornam a equacao verdadeira).

Outro exemplo:

2x^2 + 3x = 0
x ( 2x + 3) = 0
então

x = 0 ou

2x + 3 = 0

qie significa que

x = -3/2

Portanto, S = {0, -3/2}.

Caso 3:

b é zero e c não é zero.

Entao temos

ax^2 + c = 0
ax^2 = - c
x^2 = -c/a
x = + ou - raiz(-c/a)

O "+ ou -" significa que o -c/a funciona como solução tanto do jeito que está quando com o sinal invertido. Isso vai ficar mais claro nos exemplos abaixo.

Nesse caso tambem não precisa decorar a fórmula, basta repetir esse raciocínio quando ver que b é 0. Por exemplo:

2^x^2 - 8 = 0
2^x^2 = 8
x^2 = 8/2
x^2 = 4
x = + ou - raiz(4)
x = 2 ou x = -2

Aqui entendemos porque o "+ ou -". Isso acontece porque tanto a raiz(4), que é 2, serve de solução, quanto o negativo dela, -2. Podemos ver isso simplesmente substituindo o valor do x com esses dois valores:

x^2 = 4
(2)^2 = 4
4 = 4, portanto 2 é solução.

Agora vamos testar o -2:
x^2 = 4
(-2)^2 = 4
4 = 4, também funciona, pois o quadrado de -2 também é 4.

Os dois valores, 2 e -2, tornam a equação verdadeira, portanto S = {-2, 2}

Caso 4:

a = 1, mas nem o b nem o c são zero.

Nesse caso é um pouco mais difícil, pois precisamos fatorar o termo da esquerda:

x^2 + x - 6 = 0

De acordo com o caso S e P, podemos escrever o lado da esquerda como:

(x + 3)(x - 2) = 0

Lembra o que falamos sobre o único jeito de dois números se multiplicarem dar zero é se pelo menos um for zero? Então isso quer dizer que

x + 3 = 0 ou x - 2 = 0

Temos agora duas equações de primeiro grau, cada uma dando uma solução. A primeira dá x = -3 e a segunda dá x = 2, portanto S = {-3, 2}. Ou seja, tanto x = -3 quanto x = 2 tornam a equação verdadeira.

Mais um exemplo, dessa vez com a regra do trinômio quadrado perfeito:

x^2 - 6x + 9

Como S = -6 é o mesmo que (-3) + (-3),  e P = 9 é o mesmo que (-3).(-3), temos

(x - 3)^2 = 0
que é o mesmo que
(x - 3)(x - 3) = 0

Caímos de novo na situação em que duas coisas multiplicadas são 0 e portanto uma delas deve ser zero. Mas na verdade essas "duas coisas" são a "mesma coisa", (x-3), só que duplicada. Isso quer dizer que x - 3 deve ser zero para que essa equação funcione e seja verdadeira. x - 3 = 0 portanto x = 3.

Essa é a única solução, portanto S = {3}.

Caso 5:

Nem b nem c são zero, e a não é 1.

O Caso 4 só funciona quando a = 1, porque a fatoração só funciona quando o x^2 não é multiplicado por ninguém. Porem podemos lidar com esse caso desse jeito aqui:

ax^2 + bx + c = 0
e o a não é 1.

Se multiplicarmos a equacao dos dois lados por 1/a, cancelaremos aquele a!

1/a ( ax^2 + bx + c ) = 1/a . 0
1/a ( ax^2 + bx + c ) = 0       (pois 1/a . 0 dá 0)
1/a . ax^2 + 1/a . bx + 1/a . c = 0      (distributiva)
ax^2 / a + (b/a)x + c/a = 0      (produto de frações)
x^2 + (b/a)x + c/a = 0           (cancelamos o a "de baixo"  com o a multiplicando o x^2)

Agora temos uma nova equacão do segundo grau. Quem são o a, b, e c dessa nova equacao? Vamos chama-los de a', b' e c' pra não confundir com o a, b, e c originais.

O a' é quem multiplica o x^2, ou seja , a' = 1.
b' é quem multiplica o x, portanto b' = b/a
c' é quem está sozinho, sem x nenhum, ou seja, c' = c/a.

Como o a' dessa equação é 1 podemos usar o Caso 4 nela. Ou seja, o Caso 5 nos ajuda a transformar o problema em um novo problema que podemos resolver com o Caso 4.

Vamos ver alguns exemplos:

2x^2 + 10x + 8 = 0

Como a não é 1, usamos o Caso 5:

1/2 (2x^2 + 10x + 8) = 1/2 . 0

Usando as mesmas regras que usamos antes:

1/2 (2x^2 + 10x + 8) = 1/2 . 0
1/2 . 2x^2 + 1/2 . 10x + 1/2 . 8 = 0
x^2 + 5x + 4 = 0

(note que multiplicar por 1/2 é a mesma coisa que dividir por 2, e de fato foi esse o efeito, cada coeficiente passou a ter a metade do valor).

Agora temos uma equação na qual podemos usar o Caso 4! S = 5 e P = 4 são soma e produto de 4 e 1, portanto

(x + 4)(x + 1) = 0
o que leva a dizer que
x + 4 = 0
ou
x + 1 = 0
e portanto
x = -4
ou
x = -1

Assim, S = {-4, -1}.